椭圆的定义
椭圆是平面上到两个定点（焦点）的距离之和为常数的点的轨迹。这两个焦点位于椭圆的长轴上，中心为中点。
标准方程
1. 长轴在x轴上：
[
frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1 quad (a > b)
]
长半轴：(a)（沿x轴方向）
短半轴：(b)
焦点坐标：((pm c, 0))，其中(c = sqrt{a^2
b^2})
2. 长轴在y轴上：
[
frac{x^2}{b^2} + frac{y^2}{a^2} = 1 quad (a > b)
]
长半轴：(a)（沿y轴方向）
短半轴：(b)
焦点坐标：((0, pm c))，其中(c = sqrt{a^2
b^2})
关键点
a与b的关系：(a > b)始终成立，长轴对应的分母为(a^2)。
焦距公式：(c^2 = a^2
b^2)，焦距(c)总小于长半轴(a)。
离心率：(e = frac{c}{a})，衡量椭圆的扁平程度（(0 < e < 1)）。
示例
1. 方程识别：
[
frac{x^2}{25} + frac{y^2}{9} = 1
]
长轴在x轴，(a=5)，(b=3)，焦点在((pm4, 0))。
2. 已知焦点和点求方程：
焦点在((pm2, 0))，过点((0, 3))：
(c=2)，代入点得(b=3)，解得(a^2=13)，方程为(frac{x^2}{13} + frac{y^2}{9}=1)。
标准方程形式由长轴方向决定，通过分母大小判断。
参数关系：(a)为长半轴，(b)为短半轴，(c)为焦点到中心的距离。
应用：通过几何条件（焦点、顶点、过点等）求解椭圆方程。
掌握这些内容即可灵活解决椭圆的标准方程及相关几何问题。
